15 Ağustos 2011 Pazartesi

KÜTLE VE AĞIRLIK KAVRAMLARI

KÜTLE VE AĞIRLIK KAVRAMLARI

Kütle (m) hacmi dolduran madde miktarıdır. Birimi gram veya kilogramdır. Bir cismin kütlesi, bulunduğu yere , sıcaklığa ve basınca bağlı değildir.
Cisimler serbest bırakıldıklarında yere doğru düşmelerinin sebebi , yerin cisme uyguladığı çekim kuvvetidir.
Birim kütleye etki eden yer çekimi kuvvetine yerin çekim alan şiddeti veya yer çekim ivmesi denir. Yer çekim ivmesi g ile gösterilir.
g = 9,81 m/s2 g  10 m/s2 g = 1000 cm/s2 g = Yer çekim ivmesi (yer çekim sabiti)

Yer çekim ivmesi ( g ) yeryüzünden yükseklere doğru çıkıldıkça küçülür , belli bir yükseklikte sıfır olur. Ayrıca yerin merkezine doğru inildikçe de azalır. Yer çekim ivmesi coğrafi enleme göre değişir. Ekvatordan kutuplara doğru gidildikçe artar. Örneğin ekvatorda gEkvator = 9,78 kutuplarda gKutup = 9,83 olur.

Yer çekim ivmesi gezegenden gezegene de farklılık gösterir. Örneğin jüpiter de gJüpiter = 26,5 olur.

Ağırlık: Bir cisme etki eden yer çekimi kuvvetine ağırlık denir.
Ağırlık G ile gösterilir. Birimi Newton veya dyn dir. 1 Newton = 105 dyn . Ağırlık birimleri ile kuvvet birimleri aynıdır. Ağırlık ve yer çekim ivmesi vektörel veya yönlü bir büyüklüktür. Kütle ise skaler veya yönsüz bir büyüklüktür.

G=m . g

Örnek : Kütlesi 7 kg olan cismin ağırlığı ne kadardır ? (g=10)
Çözüm :
G = m . g =7 . 10 = 70 Newton

Ağırlık dinamometre ile ölçülür.

Örnek : Yeryüzünde 70 Newton olarak ölçülen bir cisim başka bir gezegende 280 Newton olarak ölçülüyorsa o
gezegenin çekim ivmesi ne kadardır ? (gyer=10 m/s2 )
Çözüm :
Gyer=m . gyer 70 = m . 10 m = 70 / 10 = 7 Kg
Ggezegen = m . ggezegen 280 =7 . ggezegen ggezegen= 280 / 7 = 40 m/s2 olur.

Veya kısaca
( m = Gyer = Ggezegen 70 / 10 =280 / ggezegen ggezegen = 40 bulunur
gyer ggezegen

Örnek : Ekvatordaki ağırlığı 978 N olan bir cismin
a) Güney kutbundaki ağırlığı ne kadardır ?
b) Jüpiter gezegenindeki ağırlığı ne kadardır ? ( gEkvator = 9,78 gKutup = 9,83 gJüpiter = 26,5 )
Çözüm :
a) m = GEkvator / gEkvator = 978 / 9,78 = 100 Kg
GKutup = m. gKutup = 100. 9,83 = 983 N
b) GJüpiter = m. gJüpiter = 100. 26,5 = 2650 N

KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ

1- Geometrik Olmayan Cisimlerin Ağırlık Merkezi

Katı bir cisim çok küçük madde parçacıklarından oluşur. Bu parçacıklara etki eden yer çekim kuvveti paralel ve aynı yönlü olur. Bu paralel kuvvetlerin bileşkesi cismin ağırlığıdır.
Bileşkenin uygulama noktası cismin ağırlık merkezi olur.
Burada m1 ve m2 gibi iki parçacığı ele alıp işlem yaptıktan sonra genel hale getirelim.

R = G1 + G2 + . . .

Bileşkenin bir noktaya göre momenti bileşenlerin aynı noktaya göre momentlerinin toplamına eşittir.

Şekilde 0 ( sıfır ) noktasına göre moment alınırsa

R . X = G1 . X1 + G2 . X2 + . . . olur.

X = G1 . X1 + G2 . X2 + . . . = G1 . X1 + G2 . X2 + . . . =  G. X
R G1 + G2 + . . .  G

G yerine G = m. g yazılırsa

X = m1 . g . X1 + m2 . g . X2 + . . . =  m . X
m1 . g + m2 . g + . . .  m

X = m1 . X1 + m2 . X2 + . . .
m1 + m2 + . . .

Benzer şekilde Y ekseni için uygularsak :

R . Y = G1 . X1 + G2 . Y2 + . . .

Y = G1 . X1 + G2 . Y2 + . . . = G1 . X1 + G2 . Y2 + . . . =  G. Y
R G1 + G2 + . . .  G

G yerine G = m. g yazılırsa

Y = m1 . g . Y1 + m2 . g . Y2 + . . . =  m . X
m1 . g + m2 . g + . . .  m

Y = m1 . Y1 + m2 . y2 + . . .
m1 + m2 + . . .

Örnek :

Şekildeki sistemin ağırlık merkezinin X ve Y koordinatları nedir ?

Çözüm :
X = m1 . X1 + m2 . X2 + m3 . X3 + m4 . X4 = 5. 10 + 3. 8 + 2. 0 + 4. ( – 1 ) = 70 / 14 = 5
m1 + m2 + m3 + m4 5 + 3 + 2 + 4

Y = m1 . Y1 + m2 . Y2 + m3 . Y3 + m4 . Y4 = 5. 8 + 3. 0 + 2. ( – 4 ) + 4. 6 = 56 / 14 = 4
m1 + m2 + m3 + m4 5 + 3 + 2 + 4

Ağırlık merkezinin koordinatı : A ( 5 , 4 )

Not : İki cisimden oluşan bir sistemin ağırlık merkezi bu cisimlerin ağırlık merkezlerini birleştiren doğru üzerindedir. ( Ağırlığı fazla olana daha yakın olur. )
Not : Sıcaklığı artan cismin hacmi artar , öz kütlesi azalır , kütlesi değişmez ve ağırlığı değişmez.

2- Tel ve Çubuklar

Homojen tel veya çubuğun ağırlık merkezi tam orta noktasıdır.
1- Bir boyutlu sistemlerde cisimler aynı maddeden yapılmış ve kalınlıkları aynı ise ağırlık yerine uzunlukları alınabilir. Aynı maddeden yapılmamış ise öz kütleleri ile de çarpılır.

3- Çerçeveler

Kare ve dikdörtgenin ağırlık merkezi köşegenlerinin veya kenarortay dikmelerinin kesim noktasıdır. Üçgende kenarortayların kesim noktasıdır. Çemberde çemberin geometrik merkezidir. Yarım çemberde ise çemberin merkezinden 2r /π uzaklıktadır.

4- Levhalar ( Alanlı Cisimler )

İki boyutlu sistemlerde cisimler aynı maddeden yapılmış ve kalınlıkları aynı ise ağırlık yerine alanları alınabilir. Ör : Daire levha gibi. (Aynı maddeden yapılmamış ise öz kütleleri ile de çarpılır. )
Şekillerde bazı geometrik biçimli levhaların alanları ve kütle merkezi verilmiştir.

5- Katı Cisimler ( Hacimli Cisimler , Üç Boyutlu Cisimler )

Üç boyutlu sistemlerde cisimler aynı maddeden yapılmış ve kalınlıkları aynı ise ağırlık yerine hacimleri alınabilir. (Aynı maddeden yapılmamış ise öz kütleleri ile de çarpılır. ) ( İçleri boş ise yüzeyleri alınır. )

Koninin ağırlık merkezi tabana h , koninin üst ucuna 3h uzaklıktadır.

6- Parça Ekleme

Bir cisme başka bir cisim eklenirse paralel ve aynı yönlü iki kuvvetin bileşkesinin uygulama noktası gibi düşünülerek veya ikiden fazla paralel kuvvetin bileşkesi gibi düşünülerek moment alınıp işlem yapılır (sistemin ağırlık merkezi ) bulunur.

Örnek :

Aynı maddeden yapılmış homojen aynı kalınlıkta kare ve daire şeklindeki levhalardan oluşan sistemin ağırlık merkezi O1 noktasından ne kadar uzaktadır ? ( π = 3 )

Çözüm :
1. Yol : ( Paralel ve aynı yönlü iki kuvvetin bileşkesi gibi )

G1 = 14. 14 = 196 G2 = π . r2 = 3. 72 = 147

G1 . X = G2 . Y 196. X = 147 . ( 14 – X )

4X = 3. ( 14 – X ) 7X = 42 X = 6 cm

2. Yol : ( Moment ile )

{ Saat yönü ( – ) , tersi yönü (+ ) alalım. } ve { + y eksenindeki kuvvetler (+) , – y yönündeki kuvvetleri de ( – ) alalım }
O1 noktasına göre moment alınırsa :

7- Parça Çıkarma

Bir cisimden bir parça çıkarılırsa çıkarılan parçanın ağırlığı esas cismin ağırlığına paralel zıt yönlü kuvvet gibi düşünülerek sistemin ağırlık merkezi bulunur. ( Eğer çıkarılan parça ile asıl cismin kütle merkezleri çakışık ise aynı doğrultulu zıt yönlü kuvvetlerin bileşkesi gibi düşünülerek ağırlık merkezi bulunur. ) Veya İkiden fazla paralel kuvvetin bileşkesi gibi düşünülerek moment alınıp işlem yapılır. ( Parça çıkarılıp yan tarafa eklenmesi de benzer yolla çözülür. )

Örnek :

Yarıçapı 12 cm olan homojen bir daire levhadan içten teğet olacak şekilde yarıçapı 6 cm olan bir daire kesilerek çıkarılıyor. Yeni şeklin ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?

Çözüm :

1. Yol :

G1 = π . r12 = π . 122 = 144 π G2 = π . r22 = π . 62 = 36 π

G1 . X = G2 . Y G1 . X = G2 . ( 6 + X )
144 π . X = 36 π . ( 6 + X ) 4X = 6 + X 3X = 6

X = 2 cm ( sağa doğru )

2. Yol :

{ Saat yönü ( – ) , tersi yönü (+ ) alalım. } ve { + y eksenindeki kuvvetler (+) , – y yönündeki kuvvetleri de ( – ) alalım }
O1 noktasına göre moment alınırsa :

Örnek :

Şekildeki homojen dikdörtgen levhadan daire şeklindeki kısım çıkarılıp atılırsa sistemin ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ? ( π = 3 )

Çözüm :
1. Yol :

G1 = 6 . 10 = 60 cm2 G2 = π . r2 = 3 . 22 = 12 cm2

G1 . X = G2 . Y 60X = 12. ( 2 + X ) 60. X = 24 + 12 X

48X = 24 X = 0,5 cm ( sağa )

2. Yol :

{ Saat yönü ( – ) , tersi yönü (+ ) alalım. }{ +y eksenindeki kuvvetler (+) , – y yönündeki kuvvetleri de ( – ) alalım }
O1 noktasına göre moment alınırsa :

NOT : Bir sistemden çıkarılan parçaların kütle merkezi sistemin başlangıçtaki kütle merkezi ile çakışıyorsa parça çıkarılmasına rağmen kütle merkezinin yeri değişmez.

Örnek :

Yarıçapı 12 cm olan homojen bir daire levhadan içten teğet olacak şekilde yarıçapı 6 cm olan bir daire çıkarılıp yan tarafına eklenirse yeni şeklin ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?

Çözüm :

{ Saat yönü ( – ) , tersi yönü (+ ) alalım. }{ +y eksenindeki kuvvetler (+) , – y yönündeki kuvvetleri de ( – ) alalım }

O1 noktasına göre moment alınırsa :

8- Tel veya Çubuk Kendi Üzerine Katlanırsa

Ağırlık merkezi katlanmayan tarafa doğru kayar.

Örnek :

Şekildeki çubuk sol ucundan 20 cm katlanırsa ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?

Çözüm :

Not : Eğer çubuk her iki ucundan katlanırsa bir taraf (+) , diğer taraf ( – ) alınır.

Örnek :

Şekildeki çubuk sol ucundan 20 cm , sağ ucundan 10 cm katlanırsa ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?

Çözüm :

Örnek :

Şekildeki çubuk A ucundan 10 cm katlanırsa ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?

Çözüm :
1 .Yol :

2. Yol :

R1 . X = R2 . Y 80. X = 20. ( 45 – X ) 4X = 45 – X 5X = 45 X = 9 cm

40 + 9 = 49 cm

Sistemin ağırlık merkezi B ucundan 49 cm uzaktadır. Yani 1 cm sağa doğru yer değiştirmiştir.

9- Tel Veya Çubuğun Bir Ucundan Bir Miktar Kesilip Atılırsa

Boyu L olan bir çubuğun bir ucundan a kadar kısmı kesilip atılırsa ağırlık merkezi kadar diğer tarafa kayar.
Eğer her iki uçtan kesilip atılırsa kadar küçük tarafa kayar.

Örnek : Boyu 100 cm olan bir telin sol ucundan 10 cm kesilip atılırsa ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?
Çözüm :
Ağırlık merkezi öncekine göre 5 cm sağ tarafa doğru kayar.

Örnek : Boyu 100 cm olan bir telin sol ucundan 20 cm ve sağ ucundan 8 cm kesilip atılırsa ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?
Çözüm :
Ağırlık merkezi öncekine göre 6 cm sağ tarafa doğru kayar.

10- Maddeler ( Cisimler ) Farklı Türde İse

Cisimler türdeş değilse öz kütleleri dikkate alınarak işlem yapılır.

Örnek :

Öz kütleleri farklı olan aynı kalınlıktaki dairesel levhalardan oluşan sistemin ağırlık merkezi O noktası olduğuna göre ikinci levhanın öz kütlesi ne kadardır ?

Çözüm :

G1 = π . r12 . d1 = π . 62. 1 = 36 π
G2 = π . r22 . d2 = π . 32. d2 = 9 π . d2

G1 . 6 = G2 . 3 36 π . 6 = 9 π . d2 . 3

216 = 27 . d2 d2 = 8 gr / cm3

11- Destek Üzerinde Tek Başına Duran Cisim Dengede İse

Ağırlık merkezi destek üzerinde bulunan noktadır.

Örnek :

Homojen olmayan cisim ( Veya aynı kalınlıkta olmayan homojen çubuk ) şekildeki gibi dengede olduğuna göre ağırlık merkezi hangi noktadır ?

Çözüm :
Ağırlık merkezi destek üzerindeki nokta olan C noktasıdır.

Bir çubuk iplerle asılarak dengelendiğinde veya destekler üzerinde dengede iken ağırlık merkezi KL noktaları arasındadır.

12- Yatay Zemindeki Bir Cismin Devrilmeden Dengede Kalması

Cismin ağırlık merkezinden geçen düşey doğru , cismin zeminde oturduğu bölgeden veya üzerinde durduğu desteklerin arasından geçerse cisim dengedir ve devrilmez.

1 ve 2 devrilmez , 3 devrilir.

Örnek :

Türdeş küplerden oluşan şekildeki sistemlerden hangisi veya hangileri devrilmez ?

Çözüm :

Şekli koordinat sistemine taşıyıp ayrıca daha pratik olsun diye birkaç parçaya ayıralım.

13- İpe Asılı Cisimler

Bir cismi ağırlık merkezi dışındaki bir noktadan serbestçe dönme hareketi yapacak şekilde asarsak cismin ağırlık merkezi asılan noktadan çizilen düşey doğru üzerindedir.

Simetrik Sütunlar ve Kareler

Levha eşit kalınlıkta ve homojen olsun. Şekilde düşey çizginin sağında ve solunda simetrik kareler ve sütunlar bulunmaktadır. Moment kuralına göre A ile A’ sütunları birbirini dengeler. Aynı şekilde B ile B’ sütunları birbirini dengeler. A sütunundaki bir kare A’ sütunundaki bir kareyi dengeler. Aynı şekilde B sütunundaki bir kare B’ sütunundaki bir kareyi dengeler.

Örnek :

Homojen olmayan bir kare levha E ve İ noktalarından iple asılmış denge durumları şekildeki gibi olduğuna göre ağırlık merkezi hangi noktadır ?

Çözüm : Cisimler iple asıldıklarında ağırlık merkezi asılan noktadan çizilen düşey doğru üzerindedir. Her iki durumda da düşey doğru üzerindeki nokta ( İki doğrunun kesim noktası ) F noktasıdır.

Örnek :

Türdeş ve eşit bölmelere ayrılmış aynı kalınlıktaki düzlem levhadan taralı kısımlar kesilip atıldığında denge bozuluyor. Hangi parçalar daha atılırsa ağırlık merkezi aynı konumda kalabilir ?

I- 6 , 9
II- 8 , 14
III- 2 , 12
IV- 5 , 16

Çözüm :
Örnekte verilen şekle göre II ve III seçenekleri tekrar dengeyi sağlayabilir.

Cevap : II ve III

Örnek :

Türdeş ve eşit bölmelere ayrılmış aynı kalınlıktaki düzlem levhadan taralı kısımlar kesilip atıldığında denge bozuluyor. Hangi parçalar daha atılırsa ağırlık merkezi aynı konumda kalabilir ?

Çözüm : Dengenin tekrar sağlanması için kesilen karelerin simetrilerinden birer kare atılmalıdır. Buna göre 1 ve 5 kareleri kesilip atılırsa denge tekrar sağlanır.

Örnek :

Özdeş küplerden oluşan sistemlerden hangisi veya hangileri serbest bırakıldığında şekildeki gibi düşey konumda dengede kalır ?

Çözüm :

Not : Bu tür örneklerde düşey çizginin sağ tarafındaki toplam moment çizginin sol tarafındaki toplam momente eşit ise sistem dengede olur.

Buna göre şekillerin sağ ve sol tarafındaki momentlere bakalım.

1. Şekil : 1. 1,5 + 1. 0,5 = 3. 0,5 2 ≠ 1,5 Sağ ve sol taraf eşit çıkmadığı için Dengede Kalmaz

2. Şekil : 1. 1,5 + 2. 0,5= 1. 1,5 + 2. 0,5 2,5 = 2,5 eşit çıktığından Dengede Kalır

3. Şekil : 4 . 0,5 = 1. 0,5 + 1. 1,5 2 = 2 eşit çıktığından Dengede Kalır

4. Şekil : 1. 1,5 + 4 . 0,5 = 1. 0,5 + 2 . 1,5 3,5 = 3,5 eşit çıktığından Dengede Kalır

Cevap : 2 , 3 , 4 dengede kalır.

PROBLEMLER ( Kütle ve Ağırlık Merkezi )

Soru 1 :
Şekildeki homojen çubuğun ağırlık merkezi neresidir ? ( Bölmeler eşittir )

Çözüm1 :
Bir çubuğun ağırlık merkezi orta noktasıdır. Yani E noktasıdır.
Soru 2 :

Aynı düzlemde bulunan aynı maddeden yapılmış aynı kalınlıkta homojen 1 ve 2 çubuklarından oluşan sistemin ağırlık merkezi neresidir ? (Kareler eşit )

Çözüm2 :
Homojen çubukların ağırlık merkezi orta noktası olduğundan 1. Çubuğun ağırlık merkezi A noktası 2. Çubuğunki ise E noktasıdır. İki parçadan oluşan sistemin ağırlık merkezi bu parçaların ağırlık merkezlerini birleştiren doğru üzerindedir. Çubuklar eşit ağırlıkta olduklarından bu çubukların ağırlık merkezlerini birleştiren doğrunun orta noktası sistemin ağırlık merkezidir. Yani C noktasıdır.
Soru 3 :

Şekil-1 deki eşit bölmelere ayrılmış düzgün ve türdeş bir çubuğun iki bölmesi şekil-2 deki gibi kendi üstüne katlanırsa ağırlık merkezi neresi olur ?

Çözüm3 :
Bir çubuğun ağırlık merkezi orta noktasıdır.
Üst üste katlanan bölmelerin Ağırlığı G1 ve ağırlık merkezi X noktasıdır. Diğer dört bölmenin ağırlığı G2 ve ağırlık merkezi Y noktası olur. G1 ağırlığı G2 ağırlığına eşit olduğu için sistemin ağırlık merkezi XY uzaklığının orta noktası olur. Yani E bölmesinin orta noktası olur.

Soru 4 :

Türdeş ( homojen ) ve aynı kalınlıktaki telden oluşan aynı düzlemde bulunan şekildeki sistemin ağırlık merkezi neresidir ? ( Kareler eşit )

Çözüm4 :
Şekildeki çubuğu iki eşit parça şeklinde düşünürsek her bir parçanın ağırlık merkezi kendi uzunluğunun orta noktasıdır.( O1 ve O2 noktaları ). Sistemin ağırlık merkezi ise bu parçaların ağırlık merkezlerinin orta noktasıdır. Yani B noktasıdır.

Soru 5 :

Homojen ve aynı kalınlıktaki telden oluşan ve aynı düzlemde bulunan şekildeki sistemin ağırlık merkezi neresidir ? ( Kareler eşit )

Çözüm5 :
1. Yol
Şekildeki telli 4 eşit çubuk şeklinde düşünürsek 1. çubuğun ağırlık merkezi O1 , 2. çubuğunki O2 , 3. çubuğunki O3 ve 4. çubuğunki O4 noktaları olur. 1. ve 2. çubuğunu bir parça şeklinde düşünürsek bu parçanın ağırlık merkezi O1 ve O2 nin orta noktası olan X noktasıdır. Aynı şekilde 3. ve 4. çubuğunu bir parça şeklinde düşünürsek bu parçanın ağırlık merkezi O3 ve O4 ün orta noktası olan Y noktasıdır. Sistemin ağırlık merkezi ise X ve Y nin orta noktası olan D noktasıdır.

2. Yol

Şekildeki telli eşit kütleli ve eşit uzunlukta 4 çubuk şeklinde düşünelim. Bu çubukların ağırlık merkezleri O1 , O2 , O3 ve O4 noktaları olur. Çubukları koordinat sistemi üzerine taşıyalım. Sistemin ağırlık merkezinin X ve Y koordinatları şöyle bulunur.

Burada m1 = m2 = m3 = m4 = 1 birim olsun.

X = m1 . X1 + m2 . X2 + m3 . X3 + m4 . X4 = 1. 0 + 1. 2 + 1. 4 + 1. 6 = 12 / 4 X = 3
m1 + m2 + m3 + m4 1 + 1 + 1 + 1

Y = m1 . Y1 + m2 . Y2 + m3 . Y3 + m4 . Y4 = 1. 2 + 1. 0 + 1. 2 + 1. 4 = 8 / 4 Y = 2
m1 + m2 + m3 + m4 1 + 1 + 1 + 1
Yani D noktası
Soru 6 :

X düzlemi içinde şekildeki gibi bükülmüş düzgün ve türdeş ( homojen ) telin kütle merkezi neresidir ? ( kareler eşit )

Çözüm6 :

 

Şekildeki teli üç çubuk şeklinde düşünelim. 2. ve 3. çubukların uzunlukları dolayısıyla kütleleri birbirine eşittir. 2 ve 3 ün kütlelerinin toplamı 1. parçanınkine eşittir. Bu parçaların kütle merkezleri O1 , O2 ve O3 noktalarıdır. 2 ve 3. çubukları tek parça şeklinde düşünürsek bu ikisinin kütle merkezi O2 ve O3 nin orta noktası olan C noktasıdır. Her üç çubuğu birlikte düşündüğümüzde ise sistemin kütle merkezi O1 ile C noktalarının orta noktasıdır.
Yani AB nin orta noktasıdır. ( Sistemi koordinat sistemine taşıyıp çözüme gidebiliriz.)

Soru 7 :

Homojen ve aynı kalınlıktaki telden oluşan ve aynı düzlemde bulunan şekildeki sistemin ağırlık merkezi neresidir ? ( Kareler eşit )

Çözüm7 :

Şekildeki telli 4 eşit çubuk şeklinde düşünürsek 1. çubuğun ağırlık merkezi O1 , 2. çubuğunki O2 , 3. çubuğunki O3 ve 4. çubuğunki O4 noktaları olur. 1. ve 2. çubuğunu bir parça şeklinde düşünürsek bu parçanın ağırlık merkezi O1 ve O2 nin orta noktası olan X noktasıdır. Aynı şekilde 3. ve 4. çubuğunu bir parça şeklinde düşünürsek bu parçanın ağırlık merkezi O3 ve O4 ün orta noktası olan Y noktasıdır. Sistemin ağırlık merkezi ise X ve Y nin orta noktası olan C noktasıdır.
( Sistemi koordinat sistemine taşıyıp çözüme gidebiliriz.)

Soru 8 :
Aynı maddeden yapılmış aynı kalınlıktaki çubuk şekildeki gibi bükülmüştür. Sistem Y noktasından serbestçe dönebilecek şekilde asılırsa aşağıdaki şekillerden hangisi gibi dengede kalır ? ( Kareler özdeştir )

Çözüm8 :
Bir cisim bir nokta etrafında serbestçe dönebilecek şekilde asıldığında cismin ağırlık merkezi asılan nokta ile yerin merkezini birleştiren doğru üzerinde olacağından doğru cevap B şıkkındır.

Soru 9 :

Aynı maddeden yapılmış aynı kalınlıktaki çubuk şekildeki gibi bükülmüştür. Sistem Y noktasından serbestçe dönebilecek şekilde asılırsa aşağıdaki şekillerden hangisi gibi dengede kalır ? ( Kareler özdeştir )

Çözüm9 :
Bir cisim bir nokta etrafında serbestçe dönebilecek şekilde asıldığında cismin ağırlık merkezi asılan nokta ile yerin merkezini birleştiren doğru üzerinde olacağından doğru cevap D şıkkındır.

Soru 10 :

Homojen olmayan bir dikdörtgen levha E noktasından asıldığında Şekil-1 deki gibi duruyor. G noktasından asıldığında Şekil-2 deki gibi duruyor. Levhanın ağırlık merkezi nerededir ?

Çözüm10 :

Cismin ağırlık merkezi asıldığı nokta ile yerin merkezini birleştiren doğru üzerindedir. O halde Bu levhanın ağırlık merkezi EF doğrusu ile GH doğrusunun kesiştiği noktadadır. ( Şekildeki O noktasıdır )

Soru 11 :

Kenarortaylarından birinin uzunluğu 24 cm olan üçgen şeklindeki homojen levhanın ağırlık merkezinin A köşesinden uzaklığı ne kadardır ?

Çözüm11 :
Bir üçgenin ağırlık merkezi kenarortaylarının kesim noktasıdır. Yani kenardan 1 birim köşeden 2 birim uzaklıktadır. 24 / 3= 8 2. 8 = 16 cm A köşesinden 16 cm uzaktadır.
Soru 12 :

Yarı çapı 10 cm olan daire şeklindeki türdeş levha üzerine aynı maddeden yapılmış aynı kalınlıkta homojen yarı çapı 5 cm olan ikinci bir daire , şekildeki gibi içten teğet olacak şekilde eklenmiştir. Sistemin ağırlık merkezi büyük dairenin ağırlık merkezinden ( O1 noktasından ) ne kadar uzaktadır ?

Çözüm12 :
1. Yol
G1 yerine A1 =  . r12 =  . 102 = 100
G2 yerine A2 =  . r22 =  . 52 = 25

G1 . X = G2 . ( 5 – X ) 100 . X = 25. ( 5 – X )
4X = 5 – X 5X = 5 X = 1

2. Yol
O1 noktasına göre moment alınıp bileşkenin uygulama noktası bulunur. ( Burada + y’yi pozitif ve -y’yi negatif yön olarak alalım. )

X =  Fx = – G2 . 5 = – 25 . 5 = – 125 = 1
 F – G1 – G2 – 100 – 25 – 125

( Sonuç + çıkarsa seçilen noktanın sağında – çıkarsa seçilen noktanın solunda olur. )

Soru 13 :

Yarıçapı 12 cm olan homojen bir daireden , içten teğet olacak şekilde yarıçapı 6 cm olan bir daire kesilerek çıkarılıyor. Yeni şeklin ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirmiştir ?

Çözüm13 :
1. Yol
G1 = A1 =  . r12 =  . 122 = 144.
G2 = A2 =  . r22 =  . 62 = 36.

G1 . X = G2 . ( 6 + X ) 144. . X = 36. . ( 6 + X )

4X = 6 + X X = 2 bulunur. ( Sola doğru )

2. Yol O1 noktasına göre moment alınırsa ( veya paralel kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktası gibi düşünülürse ) ( Burada + y’yi pozitif ve -y’yi negatif yön olarak alalım. Saatin tersi pozitif saat yönü negatif olsun )
X =  Fx = G2 . 6 = 36 . 6 = 216 = 216 = – 2 cm
 F – G1 + G2 – 144 + 36 – 144 + 36 – 108

Soru 14 :

Bir kenarı 60 cm olan türdeş karenin şekildeki gibi taralı kısımları kesilip atılırsa ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?

Çözüm14 :

Bir üçgenin ağırlık merkezi herhangi bir kenarortay üzerinde ve kenardan 1 birim köşeden 2 birim uzaklıktadır. Birinci üçgenin ağırlık merkezi O1 noktasından 10 cm uzaktaki X noktası , ikinci üçgenin ağırlık merkezi O1 noktasından 20 cm uzaktaki Y noktasıdır. İki üçgenin ağırlıkları eşit olduğundan Sistemin ağırlık merkezi X ve Y uzaklığının orta noktasıdır. X ve Y uzaklığı 30 cm dir. O halde sistemin ağırlık merkezi O1 noktasının sağında 5 cm uzaklıktadır.

Soru 15 :

Şekil-1 deki düzgün türdeş karenin taralı kısımları kesilip şekil-2 deki gibi eklenirse yeni şeklin ağırlık merkezi neresi olur ? ( Bölmeler eşit )

A) A B) B C) C D) D E) E

Çözüm15 :

Şekilde 1 , 2 , 3 kısımlarının ağırlık merkezi X noktası ve 4 , 5 , 6 kısımlarının ağırlık merkezi Y noktasıdır. 1, 2, 3 kısımlarının ağırlıkları 4 , 5 , 6 kısımlarının ağırlıklarına eşittir. Bu nedenle X ve Y noktalarını birleştiren doğrunun orta noktası sistemin ağırlık merkezidir. X ve Y nin orta noktası ise D noktasıdır.

Soru 16 :

Bir kenarı 60 cm olan kare şeklindeki türdeş levha 1 ve 2 köşelerinden şekildeki gibi katlanmıştır. Yeni şeklin ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirmiştir ? ( Kareler eşit )

Çözüm16 :

Şekil-1 deki gibi dikdörtgenin ağırlık merkezi O1 noktasının 15 cm solundaki X noktasıdır. Üçgenin ağırlık merkezi O1 noktasının 10 cm sağındaki Y noktasıdır. Üçgen ve dikdörtgenin ağırlıkları eşit olduğundan Sistemin ağırlık merkezi X ve Y uzaklığının orta noktasıdır. Yani O1 noktasının solunda ve 2,5 cm uzaktaki O2 noktasıdır.
G1 = G2 dir
G1 . a = G2 . b G1 = G2 olduğundan a = b = 12,5 olur. O1O2 = b – 10 = 12,5 – 10 = 2,5 cm olur.

Soru 17 :
Aynı maddeden yapılmış aynı kalınlıkta kare şeklindeki levhanın Şekil-1 deki gibi taralı 1 ve 2 nolu kısımları kesilip Şekil-2 deki gibi yapıştırılırsa Sistemin ağırlık merkezi neresi olur ? ( Bölmeler eşit )

A) A-B arası B) B noktası C) B-C arası D) C noktası E) C-D arası

Çözüm17 :

Şekilde 1 ve 3 nolu kısımların ağırlık merkezi X noktasıdır. 2 ve 4 nolu kısımların ağırlık merkezi Y noktasıdır. Ağırlıkları eşit olduğu için 1-3 ve 2-4 kısımlarından oluşan parçaların ağırlık merkezi X ve Y uzaklığının orta noktası olan A noktasıdır. Dikdörtgen biçimdeki parçanın ağırlık merkezi D noktasıdır. 1-3 ve 2-4 parçalarının ağırlığı dikdörtgenin ağırlığına eşit olduğundan Sistemin ağırlık merkezi A ile D nin orta noktasıdır. Cevap : C şıkı ( B-C arası )

Soru 18 :

Şekildeki sistemin ağırlık merkezinin X ve Y koordinatları nedir ?

Çözüm18 :

X = m1 . X1 + m2 . X2 + m3 . X3 + m4 . X4 = 5. 6 + 3. 10 + 2. 0 + 1. ( – 12 ) = 48 / 12 = 4
m1 + m2 + m3 + m4 6 + 3 + 2 + 1

Y = m1 . Y1 + m2 . Y2 + m3 . Y3 + m4 . Y4 = 5. 16 + 10. 0 + 2. ( – 6 ) + 1. ( -4 ) = 84 / 12 = 7
m1 + m2 + m3 + m4 6 + 3 + 2 + 1

Ağırlık merkezinin koordinatı : A ( 4 , 7 )

Soru 19 :

3d ve d öz kütleli maddelerden yapılmış eşit yarıçaplı türdeş iki küre şekildeki gibi birleştirilmiştir. Sistemin ağırlık merkezinin O1 noktasından uzaklığı ne kadardır ?

Çözüm19 :
Kürelerin yarıçapları eşit olduğu için Hacimleri de eşittir. V1 = V2 = V
G1 ve G2 ağırlıkları yerine G1 = V. 3d ve G2 = V. d alınabilir.

G1 . a = G2 . ( 2r – a ) 3 Vd . a = Vd . ( 2r – a )
3a = 2r – a 4a = 2r
a = r / 2 olur.
Soru 20 :

X , Y , Z metallerinin boyca genleşme katsayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı şöyledir : Z > Y > X
X , Y , Z çubuklarının t sıcaklığındaki boyları eşittir. X-Y , X-Z ve Z-Y çubukları t sıcaklığında şekildeki gibi dengededir. Etrafında dönebilecek şekilde asılan çubukların sıcaklıkları t kadar azaltılırsa denge bozuluyor. Tekrar dengenin sağlanması için ipler hangi tarafa götürülmelidir ?
a b c
A Sağa Sağa Sola
B Sağa Sağa Sağa
C Sağa Sola Sağa
D Sola Sağa Sola
E Sola Sola Sağa

Çözüm20 :
Maddelerin boyları sıcaklıkla değişir kütleleri ise değişmez. Sıcaklık azalınca boyca genleşme katsayısı büyük olan daha çok kısalır. Az kısalan taraf ağır olacak şekilde denge bozulur. Dengenin sağlanması için ip , boyu az kısalan tarafa götürülmelidir. Örneğin a şeklinde Y çubuğunun boyu daha çok kısalır. Dengeyi sağlamak için ip sola yani X çubuğu tarafına götürülür. Doğru cevap : E

Soru 21 :

Şekildeki türdeş karenin taralı kısmı kesilerek 1 Nolu kısma yapıştırılıyor. Sistemin ağırlık merkezi kaç a kadar yer değiştirmiştir ?

Çözüm21 :
Başlangıçta karenin ağırlık merkezi köşegenlerin kesiştiği noktadır.
Parça kesilip 1 nolu kısma yapıştırıldıktan sonra
2 ve 3 nolu parçaların ağırlığı G1 ve yapışık parçaların ağırlığı G2 olsun. G1 ‘in uygulama noktası başlangıçtaki noktadır yani köşegenlerin kesim noktasıdır. G2 ‘nin uygulama noktası G1’den 2a/6 kadar sağ taraftadır. G1 = G2 olduğundan Bileşkenin uygulama noktası iki kuvvetin ( G1 ve G2 nin ) orta noktasıdır. Yani a/6 kadar yer değiştirmiştir.

Soru 22 :

Şekil-1 deki kare levha Şekil-2 deki duruma getiriliyor. Yeni şeklin ağırlık merkezi neresidir ?
A) A’da B) A-B arası C) B’de D) B-C arasında E) D’de

Çözüm22 :

Şekil-2 de 1 ve 2 nolu parçaların ağırlık merkezi A noktasındadır. 3 ve 4 nolu parçaların ağırlık merkezi D noktasındadır. 1 ve 2 nolu parçalar ile 3 ve 4 nolu parçaların ağırlıkları eşit olduğundan bu dört parçanın birleşiminden oluşan şeklin ağırlık merkezi A noktası ile D noktasından eşit uzaklıktadır.
Yani B-C arasındadır. Cevap : D)

Soru 23 :
Sırasıyla 3 cm , 2 cm ve 1 cm yarıçaplı aynı maddeden yapılmış aynı kalınlıkta şekildeki gibi birleştirilmiş homojen dairelerin ağırlık merkezinin O1 noktasından uzaklığı ne kadardır ?

Çözüm23 :
G1 = A1 = . r12 = . 32 = 9 G2 = A2 = . r22 = . 22 = 4 G3 = A3 = . r32 = . 12 = 
1. Yol
O1 noktasına göre moment alınırsa :
( Saat tersi pozitif saat yönü negatif olsun ) ( Yukarı yönlü kuvvetler pozitif aşağı yönlü kuvvetler negatif olsun )

X=  F. x = – G2 . 5 – G3 . 8 = – 4. 5 – 1. 8 = – 28 = 2 cm
 F – G1 – G2 –G3 – 9 – 4 – 1 – 14

2. Yol
( G2 ve G3’ün bileşkesi ve uygulama noktası bulunursa ) :
G2 . a = G3 . ( 3 – a ) 4. a = 1. ( 3 – a ) a = 3 / 5 olur.

R1 = G2 + G3 = 4 +  = 5

( G1 ve R1 ‘ in uygulama noktası bulunursa ) :
G1 . X = R1 . ( 28 / 5 – X ) 9. X = 5. ( 28 / 5 – X )

9X = 28 – 5X X = 28 / 14 X = 2 cm

Soru 24 :

Yarıçapı 2 cm olan türdeş daireden şekildeki gibi içten teğet olacak biçimde 1 cm yarıçaplı daire çıkartılıp yan tarafına yapıştırılıyor. Yeni şeklin ağırlık merkezinin O1 noktasından uzaklığı ne kadardır ?

Çözüm24 :
G1 = . r12 = . 22 = 4 G2 = G3 = . r22 = . 12 = 
1. Yol
( G1 büyük dairenin ağırlığı , G2 çıkarılan parçanın ağırlığı , G3 çıkartılıp yana yapıştırılan parçanın ağırlığı )
( O1 noktasına göre moment alınırsa veya paralel kuvvetlerin bileşkesi gibi düşünülürse ) ( Saatin tersi yönü + saat yönü – alınırsa )
X=  F. x = G2 . 1– G3 . 3 =  . 1 –  . 3 = 1 / 2 cm ( O1 ‘in sağında)
 F G2 – G1 – G3  – 4 – 

2. Yol

( G1 ve G2’nin bileşkesi ve uygulama noktası bulunursa )
G1 . a = G2 . ( 1 + a ) 4. a = 1. ( 1 + a ) 4a = 1 + a
4a – a = 1 3a = 1 a = 1 / 3
R1 = G1 – G2 = 4 –  = 3

( R1 ile G3 ‘ün bileşkesinin uygulama noktası bulunursa ):

G3 . X = R1 . ( 10 / 3 – X ) 1. X = 3. ( 10 / 3 – X )
X = 10 – 3X 4X = 10 X = 2,5 cm
( O3 ‘ün solunda 2,5 cm ise O1 ile O3 arası uzaklığı 3 cm olduğundan O1 ‘ den 0,5 cm uzakta olur. yani O1’in sağında 0,5 cm uzakta )

Soru 25 :
4 cm yarıçaplı 0,4 g/cm3 öz kütleli daireden şekildeki gibi 1cm yarıçaplı daire çıkartılıp yan tarafına yapıştırılıyor. Çıkarılan parçanın yerine de aynı boyutlarda 12 g/cm3 öz kütleli bir cisim konuyor. Bu durumda sistemin ağırlık merkezinin O1 noktasından uzaklığı ne kadardır ?

Çözüm25 :

G1 = A1 . d1 =  . 42. 0,4 =  . 16. 0,4 = 6,4 
G2 = A2 . d1 =  . 12. 0,4 =0,4 
G3 = A3 . d2 =  . 12. 12 = 12
G4 = A4 . d1 =  . 12. 0,4 = 0,4

O1 noktasına göre moment alınırsa

X =  F x = G2 . 3 – G3 . 3 – G4 . 5 = 0,4. 3 – 12 . 3 – 0,4. 5 = – 36,8 = 2
 F G2 – G1 – G3 – G4 0,4 – 6,4  – 12 – 0,4 – 18,4

O1 noktasından 2 cm sağındadır.

Soru 26 :
Sırasıyla 2 cm , 2 cm ve 4 cm yarıçaplı 3 g/cm3 , 1 g/cm3 ve 2 g/cm3 öz kütleli aynı kalınlıkta şekildeki gibi birleştirilmiş homojen dairelerden oluşan sistemin ağırlık merkezinin O3 noktasından uzaklığı ne kadardır ?

Çözüm26 :
G1 = A1. d1 = . 22. 3 = 12 G2 = A2. d2 = . 22. 1 = 4 G3 = A3. d3 = . 42. 2 = 32
1. Yol
O3 noktasına göre moment alınırsa yada paralel kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktası gibi düşünülürse
( Yukarı yönlü kuvvetleri + aşağı yönlü kuvvetleri – alalım )
X =  F. x = G1. 10 + G2 . 6 = 12 . 10 + 4 . 6 = 144 = – 3
 F – G1 – G2 – G3 – 12 – 4 – 32 – 48
Uygulama noktası seçilen noktanın ( O3 ‘ün ) 3 cm solundadır.

2. Yol
Önce G1 ve G2 ‘nin bileşkesi ve uygulama noktasını bulunur.
G1 . a = G2 . ( 4 – a ) 12 . a = 4 . (4 – a ) 3 . a = 4 – a a = 1 cm

R1 = G1 + G2 = 12 + 4 = 16 olur.

Şimdide R1 ile G3’ ün bileşkesi ve uygulama noktası bulunur.

G3 . X = R1 . ( 9 – X ) 32 . X = 16 . ( 9 – X )

2 . X = 9 – X 3. X = 9 X = 3 cm olur.

( O3 noktasının 3 cm solundadır )

Soru 27 :

X , Y , Z metallerinin boyca genleşme katsayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı
şöyledir : X > Y > Z
X-Y , Z-X , Y-Z kürelerinden oluşan sistemler t sıcaklığında şekildeki gibi dengededir. Şekil-1 deki cisimlerin sıcaklıkları t kadar azaltılıp , Şekil-2 ve Şekil-3 teki cisimlerin sıcaklıkları t kadar artırılırsa sistemlerin ağırlık merkezleri hangi taraflara gider ?

Çözüm27 :
Şekil-1 deki cisimlerin sıcaklıkları azaltıldığı için X küresinin yarıçapı Y küresininkinden daha çok kısalır. Şekil-1 de ağırlık merkezi sağa doğru yer değiştirir.
Şekil-2 ve Şekil-3 teki cisimlerin sıcaklıkları artırıldığı için genleşme kat sayısı büyük olanın yarıçapı daha çok artar. Dolayısıyla ağırlık merkezleri Şekil-2 de sağa doğru, Şekil-3 te ise sola doğru yer değiştirir.

Şekil-1 Şekil-2 Şekil-3
Ağırlık Merkezi Sağa Sağa Sola

Soru 28 :

Düşey düzgün ve türdeş , homojen aynı kalınlıkta X , Y , Z telleri şekildeki gibi bükülmüştür. X , Y , Z tellerinden hangileri O noktasından iple asılıp serbest bırakıldığında şekildeki konumda dengede kalır ? ( Kareler eşit )

Çözüm 28 : O noktasından geçen düşey doğrunun sağ ve sol tarafındaki momentlerin toplamlarına bakılırsa

X ve Y dengede kalır , Z ise dengede kalmaz.

Soru 29 :

Düşey düzgün ve türdeş , homojen aynı kalınlıkta X , Y , Z telleri şekildeki gibi bükülmüştür. X , Y , Z tellerinden hangileri O noktasından iple asılıp serbest bırakıldığında şekildeki konumda dengede kalır ? ( Kareler eşit )

Çözüm 29 : O noktasından geçen düşey doğrunun sağ ve sol tarafındaki momentlerin toplamlarına bakılırsa

Üçü de dengede kalır.

Soru 30 :

Düşey düzgün ve türdeş , homojen aynı kalınlıkta X , Y , Z telleri şekildeki gibi bükülmüştür. X , Y , Z tellerinden hangileri O noktasından iple asılıp serbest bırakıldığında şekildeki konumda dengede kalır ? ( Kareler eşit )

Çözüm 30 : O noktasından geçen düşey doğrunun sağ ve sol tarafındaki momentlerin toplamlarına bakılırsa

X ve Z dengede kalır , Y ise dengede kalmaz.

Soru 31 :

Türdeş , homojen ve aynı kalınlıkta tellerden oluşan sistemin ağırlık merkezi neresidir ? ( π =3 ve Y eğrisel tel çember şeklindedir. )

Çözüm 31 :

Tellerin uzunlukları : LX = 12 birim LY = 2π r = 2 . 3 . 1 = 6 birim LZ = 2π r = 2 . 3 . 1 = 6 birim

X<<<2in ağırlık merkezi A noktasıdır. Y ve Z ‘nin birlikteki ağırlık merkezi E noktasıdır. Sistemin ağırlık merkezi ise A noktası ile E noktasının orta noktası olan C noktasıdır.

Soru 32 :

Yarı çapı 8 cm olan şekildeki türdeş dairesel levhadan yarı çapı 4 cm olan parça kesilip yan tarafına yapıştırılırsa ağırlık merkezi ne kadar yer değiştirir ?

Çözüm 32 :
G1 = π . 82 = 64 π G2 = π . 42 = 16 π G3 = π . 42 = 16 π

{ Saatin tersi yönü ( + ) , saat yönü ( – ) alınsın }

O1 noktasına göre moment alınırsa :
Kaynak: herdembilgi.com

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder